理。

    有理数看起来处处稠密，在直觉上根本无法像是自然数和整数一样一一列举出来。

    但无理数的存在表明有理数并不连续，依旧是离散的。

    既然如此，那么有理数或许也能用某种方式像是自然数一样一一列出，基数同样是可数无穷。

    “想要证明这一点，需要用一种方法将有理数排列成类似自然数的形式，这种方法被称为集合的可数化。”

    “每一个有理数可以表示为p\/q的形式，简单起见，只选择正有理数，对于无穷集合这种处理不会影响结果。”

    康特尔首先将这些有理数排列成一个二维矩阵的形式。

    第一行是所有p\/1形式的有理数，也就是所有的整数。

    第二行是所有p\/2形式的有理数，第三行是所有p\/3形式的有理数，以此类推。

    然后在这张二维矩阵上画了一条Z字形的线，将矩阵上列出的所有有理数排列成一行。

    1，2，1\/2，1\/3，2\/2，3，4，3\/2，2\/3，1\/4，1\/5，2\/4，3\/3，4\/2，5，6…

    将这个有理数序列中所有重复的非最简形式分数去掉，得到一个有理数序列：

    1，2，1\/2，1\/3，3，4，3\/2，2\/3，1\/4，1\/5，…

    所有的有理数完成了可数化，能够与自然数集合完成一一对应。

    因此，看似无穷稠密的有理数的数量与自然数相等，依旧是?0。

    阿基里斯咀嚼着口中的红枣，她汲取着其中的信息，接着有些惊讶地问道：

    “就算加入了比有理数多得多的无理数，额，这里把它们叫做无理代数数，依旧还是可数无穷？”

    她在这颗红枣里看到了一个名为刘维尔的数学家做的有关于代数数和超越数的证明。

    一个实数如果是某个具有整系数的多项式方程的解，就把它称为代数数。

    根号2是代数数，因为它是整系数二次方程x^2-2=0的一个解。

    有理数就是一次整系数方程的解，代数数代表着有理数的扩充。

    刘维尔不等式是一个有关于无理代数数和有理数的不等式。

    通俗来说，这个不等式表明有理数作为无理代数数的邻居，其数量少得可怜。

    “没错，无理数之间也是不一样的。”

    “如根号2、根号3等实代数数同样可以像有理数一样进行可数化，因此虽然它们比有理数多得多，但数量还是与自然数一样多。”

    李恒从口袋里掏出那条白色的数轴，用手指敲了敲上面那些意义不明的奇怪符号。

    “所以，真正让实数轴具有连续性的不是无理代数数，而是那些更奇怪的超越数。”

    “说回实数集的基数，康托尔用来证明实数集不可数的方法是反证法。”

    首先假设实数集是可数的，可以用类似于上面使用过的可数化方法，将所有的实数都列举出来。

    1x1.a1a2a3…

    2x2.b1b2b3…

    3x3.c1c2c3…

    通过一一列举的方法，列举出一个有着无穷个无限小数的数表。

    想要证明这张数表无法列举出所有实数，就要构造出一个反例，表明它不可能出现在这张表里。

    这种方法被称为对角线证明。

    令一个实数R的小数部分为(a1-1)，(b2-1)，(c3-1)…当0-1时令其为9。

    这个实数R小数点后的第1位与列表中的第一个实数的第一位不同，小数点后的第2位与列表中的第二个实数的第二位不同。

    以此类推，实数R小数点后的第n位与列表中第n个实数的第n位不同。

    这就是这个证明被称为对角线法的原因，新的实数R所取的小数来自列表中全体实数的一条对角线上。

    最终，这个新的实数与列表中的每一个实数都不同，一张无限长的列表也无法写出全部的实数。

    由此得出与假设不同的矛盾，从而证明实数是不能可数化的。

    实数集与自然数集无法一一对应，它是一个比可数无穷更大的无穷。

    如此便有了三个基本的层次：

    有限，可数无限，不可数无限。

    康托尔将连续统的基数称为c。

    在这之后他做了一些更深入的证明，即线段=直线，直线=平面。

    实数轴【0，1】区域点的数量与整条实数轴一样多，线、面、体都是等价的点集，基数都是连续统的基数c。

    它们都是一样的无限大，维度差异根本无关紧要。

    这意味着能够用一个坐标来唯一确定一个n维连续空间的点，而不需要随着维度增加而添加更多的空间坐标。

    “这个问题有些超纲了，我们当前探究的只是实数轴和连续统，关于线=面=体的反直觉问题暂且略过。”

    李恒的脸颊鼓起来一小块，这让他看起来有些像是在吃花生的仓鼠。

    嘎嘣嘎嘣的清脆声响在这间无人的庭院中响起，阿基里斯抬头看去，那棵大红枣树上面的红枣已经只剩下寥寥几个，看起来有种荒凉感。

    那些红枣小部分到了她的肚子里，大部分都被李恒吞下了肚。

    还好康托尔不在这里，不然大概要跟他们这两个不告而取的家伙打上一架。

    以己度人，要是他自己种的红枣被陌生人跑进来吃了个精光，那她肯定要气的半死。

    “不，他一直在边上看着咱们。”

    李恒抬手指向枣树的根部。

    “这是个脾气很好的老头，跟挂在天上的那个大太阳不太一样。”

    阿基里斯闻言看向枣树，她握住胸前的螺旋状钥匙，用那个看不到具体尖端的小点对准了那里，终于看到了躺在枣树底下的第三人。

    一个脸上布满皱纹，头发散乱的白发老头子，眼中有着呆滞和茫然，仰着头躺在那里不知道在想些什么。

    “他对我们讨论的东西并不感兴趣，也不在意我们吃掉他种的红枣，只喜欢一个人待着思考自己的问题。”

    “虽然是个精神病老头，但没有什么攻击性，不像上个世界的毕达哥拉斯那样危险。”

    李恒从那棵变得光秃秃的枣树上摘下最后几个红枣，塞到了身旁白发女孩的手掌心里。

    “最后几个了，这可是康托尔亲手种下的好东西，比人参果还厉害的宝贝，闻一闻味道就能获得一念生灭多元宇宙的力量。”

    虽然同样都是可数无穷，但无理代数数和自然数集合、有理数集合当然有很大区别。

    用基数衡量力量层次是一种很粗糙的方法，在无限领域，即使是相同的基数，具备的力量也是天差地别。

    这涉及到更复杂的超穷序数和超图灵机的力量层次，从可数无穷到不可数无穷之间还有着极度复杂的结构。

    用有限世界的情况进行类比，一个一千克的血肉大脑和一团一千克的棉花是不一样的，一百亿人组成的智慧文明和一块十亿吨重的石头也是不一样的。

    “噢…这么厉害啊。”

    阿基里斯仔细看了两眼，抬手就把这几颗珍贵的红枣塞进了嘴中，随意地嚼了两下就吞了下去。

    味道确实比最初在地球上吃的烤牛排要好不少。
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