如果还有着比无穷小更小的无穷小，那之前所谓的无穷小又算是什么？

    “没错，在原始的穷竭法和早期的微积分之中，有着许多模糊不清的地方。”

    “虽然它们在计算光滑图形的面积上很有效，但它们的理论基础却并不坚固，如同一座空中楼阁。”

    李恒抬手从眼前划过，看着手掌的轨迹道：

    “点动成线，在欧几里得的定义中，他将点称作是没有部分的东西。”

    “一个没有大小的东西，这个东西的长度自然就是0。”

    “但点动成线，无穷个点的组合却变成了有着某个具体且有限的长度的线。”

    “古希腊人最讨厌的0和∞又在这里出现了，这种定义就和0x∞得出某个有限大小的数是一样的。”

    “在早期的微积分中，就充斥着这种麻烦的问题，本质上是微积分没有能力处理无穷，无论是无穷大还是无穷小。”

    “嗯，咱们边走边说。”

    李恒拉着阿基里斯的手迈步向着街道对面走去。

    这个白发女孩下意识地低头看向两人交叠在一起的手掌，回忆起最初地球上的那条街道。

    还是一样的触感，但随着她一点一点理解了“运动”、“触碰”的难度，她对于人与人之间的接触也有了与之前完全不一样的理解。

    “我见到的只是我眼中的他，我触碰到的手掌也只是我脑海中认知的感受。”

    “人在这个世界上所能感受到的其他人与物，其实都只是自己脑海中的信息。”

    “这大概就是所谓的心外无物，人终其一生所能感受到的仅有自己。”

    从这恍惚间的思考中回过神来，阿基里斯收回视线，抬头看向面前出现的东西。

    那是一幅二维平面直角坐标系，此刻漂浮在两人的面前，一条弯弯曲曲的曲线从原点出发，随着两人的步伐慢慢地向前移动。

    “这是笛卡尔发明的坐标系，是解析几何的基础。它可以用来表示变量之间的关系，直观的看到函数的图像，将抽象的代数与直观的几何联系在一起。”

    “这张坐标系上，横轴是时间t，纵轴是距离S。”

    “从牛顿和莱布尼茨的微积分，到正式严谨的现代微积分，中间有很多复杂的东西可讨论。”

    “不过这里不是高数课的课堂，所以用不着去学着计算那些麻烦的定积分、不定积分、常微分方程、偏微分方程。”

    “现在要讨论的只是微积分和第二次数学危机的有关问题，这个问题与你的名字紧密相关。”

    “从某种意义上来说，芝诺的思想其实太过超前。”

    “正是他关于静止与运动、离散与连续的悖论中所涉及到的东西——无穷小量，引起了第二次数学危机。”

    芝诺悖论和无穷小量。

    阿基里斯低头看向自己胸前的粉白色螺旋状钥匙，望着那个在这无穷小的世界里仍旧看不到具体大小的尖端，她明白了过来。

    0.99…，这是一个无穷级数。

    想要让0.99…=1，就需要迈出最后的那一步，也就是加上一个大小为9\/∞的数值。

    无法处理的恼人的无穷又在这里出现了。

    不仅仅是无穷小，还有那个让阿基里斯真正追上乌龟的最后一步的问题。

    以有限的凡人的思想，这个无穷序列根本就没有所谓的最后一步。

    就像是台灯悖论，一个台灯经过无限次开关后的状态是什么？

    用数字表示，就是1-1+1-1…的无穷级数求和。

    如果根据（1-1）+（1-1）…来计算，那么这个级数的和等于0。

    如果根据1 +（-1 +1）+（-1+1）…，那么这个级数的和就等于1。

    两种计算在数学上都是正当的，这个级数的和似乎既为1又不为1，但这是不可能的。

    这是一种被称为振荡级数的发散级数，没有收敛的有限值。

    ∞是奇数还是偶数？

    从这个震荡级数也能看出，无穷不是整数，没有奇偶性，也没有什么最后一步可言。

    同样的，每一个无理数也根本没有什么最后一位的说法。

    阿基里斯抬头看向面前漂浮着的平面坐标系上那条弯弯曲曲向上延伸的白色曲线道：

    “所以，第一次数学危机是有关于无法数尽的无理数的无穷大的问题，第二次数学危机其实是有关于无穷小的问题？”

    难怪说无穷大和无穷小是同样的麻烦，与无穷有关的东西就没有简单的。

    李恒指着面前的平面直角坐标系道：

    “函数中最简单的是线性关系，行走时匀速前进v=s\/t，每一个时刻的速度都等于平均速度。”

    “但实际上很难遇到这种理想的状况，从静止到运动有加速、从运动到静止有减速。”

    “世界上到处都是非线性的事物，想要描述这种不均匀的非线性状态，就必须用到微积分。”

    “速度等于距离除以时间，利用微分的无穷切割思想，要做的就是将这条曲线截取无穷小的一部分。”

    “在这无穷小的一部分上，曲线变成了直线，因此就可以用之前计算线性运动的方式来计算瞬时速度。”

    “v=ds\/dt，曲线上每一点的瞬时速度就是这一点的切线的斜率。”

    李恒将面前的平面直角坐标系放大，把路程中的其中一小段曲线挑选了出来。

    “这段曲线的函数表达式是s=t^3”

    “假设我们现在用无穷小的时间dt走出了一个无穷小的距离ds。”

    “从而得到等式，S＋ds=t^3+3t^2dt+3t(dt)^2+(dt)^3”

    “然后，按照微积分的计算方式，因为等式右侧包含(dt)^2和(dt)^3的项是比无穷小更小的高阶无穷小，所以可以直接舍去，只保留等式中最低阶的无穷小dt和ds。”

    “于是s+ds=t^3+3t^2dt，得出ds\/dt=3t^2，这就是这条曲线的切线斜率。”

    “这是微积分中很基本的导数计算，得出的结论也完美符合实际结果，无疑是正确的。”

    “但是，发现里面的问题了吗？”

    阿基里斯看看那个比无穷小更小的高阶无穷小，再看看那个ds\/dt的式子，明白了那个模糊不清的问题在哪里了。

    “0不能作为除数，所以dt不是等于0，同样的，(dt)^2也不是0。”

    “不是0，却可以在等式的右侧当做0直接略去，并且依旧得出完全相等的结果。”

    李恒点点头道：

    “这就是牛顿和莱布尼茨的微积分中藏着的问题，无穷小量是一个极为奇怪的东西。”

    “它可以作为除数，所以不是真的等于0，但它又必须像是0一样满足x+dx=x这样的方程。”

    “我说的对吧，贝克莱主教？”

    阿基里斯转头看向出现在两人身旁的这个男人。

    他的头上戴着大大的黑色兜帽，穿着教会传统的黑色装束，表情严肃且认真，手中捧着厚厚的一堆传单，上面隐约可以看到“打倒牛顿霸权主义”、“推翻莱布尼茨暴政”的字样。

    这位教会的主教此刻看着面前的两人，缓缓地点了点头，语气赞赏地道：

    “说的不错，牛顿的流数术是先取Δs\/Δt，这里的Δt当然不可以为零，但紧接着又令Δt为零来求得瞬时速度。那么这个Δt到底是不是零？”

    “这些逐渐消失的增量是什么？它们既不是有限量，更不是空无，或许我们应该把它们称为消逝的幽灵更合适。”

    “这些计算方法不过是隐晦的神秘物，它们是模糊和混乱的，是无理和荒谬的！”
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