前这座混沌气澎湃的超级亚历山大图书馆突然收缩变小，再次变回了最初那般平平无奇的模样。
“有限的生灵力量太弱，有理数对应的世界在他们眼里和连续的世界是一样的。”
“他们找不到最小的空间尺度，因此他们也看不到这间图书馆的尽头，即使是建造这座图书馆的阿基米德本人也不例外。”
李恒看向图书馆的某个书架，阿基米德就在这座图书馆的一本书里做着自己的研究工作。
他就像传说故事里的那样蓬头垢面，在那没有尽头的无穷小世界里迷失了方向，很难再回来这里洗澡了。
无论是广延的无穷大，还是无限可分的无穷小，对于有限的凡人都是同样不可触及的实无穷领域。
尤里卡突袭者驾驶着小黄鸭在图书馆内穿梭，最终停在了图书馆的一座书架面前，正对着一本棕色的书籍。
“嗯，就是它了。”
阿基里斯看向这本巨大的书籍，它的封面上画着一个圆，圆的内部则有许多辅助线，构成了一个有近百条边的正多边形。
《穷竭法与圆周率》
随着她的注视眼前的书本封皮翻开，显露出内部记录的文字。
“穷竭法来自欧多克索斯，阿基米德是它的继承者。”
“开篇是对于圆的面积计算，这种方法很像是切割披萨，通过将圆切割城一块块微小的扇形，将它组合成一个新的形状。”
阿基里斯看着这本书最初的几页，一个完整的圆被重新切割之后，成为了一个近似于长方形的形状。
长方形的两条长边由圆的圆弧构成，另外两条短边则是圆的半径。
“将圆切割的块数越多，构成的图形就越接近真正的矩形，当弯曲的圆弧被切割到无穷小时，圆弧就成了直线。”
“最终就能很容易的计算出，圆的面积等于1\/2半径x周长。”
“这就是穷竭法，通过切割和重组把曲线化为直线。”
阿基里斯是个没上过学的义务教育漏网之鱼，如果是个现代人就能很容易理解，这种处理方法其实就是微积分的雏形。
在欧几里得的几何原本上也提到了这种方法：
一个量减去它自身的一半或一半多，剩余的量再减去剩余的量的一半或一半多。
一直这样减下去，最终就得到一个小于任何事先给定量的量。
在这里使用了“任意小”这个词，这是一种潜无穷的观点。
相较于其他古希腊人，欧多克索斯和阿基米德更注重实用。
不在意逻辑推理上的疑难问题，只关注能否计算。
因此他们在否认实无穷的古希腊时代，发展出了接近微积分的穷竭法来处理那些光滑的曲线。
就像把一个圆重组成矩形时那样，微积分可分为两个步骤：切分和重组。
切分过程总是涉及无限精细的减法运算，把一块蛋糕不停地切去一半，最终留下来一块任意小——或者说是无穷小的部分，这个过程就是微分。
重组过程则总是涉及无限的加法运算，将无穷小的各个部分整合成原来的整体，这个部分就是积分。
两个步骤分别对应于还原论与整体论的哲学思想。
“阿基米德用类似的方法来计算圆周率，通过画圆的内接正多边形和外接正多边形，计算圆周率的范围。”
“最终，当正多边形的每一条边无穷小、边的数量达到实无穷时，就能得到一个光滑的、完美的圆，同时也就得到了圆周率。”
实无穷有趣的地方就在于，经过无限次步骤后得到的最终结果反而会比有限的状况处理起来简单许多。
一个有古戈尔条边的正多边形，那可比光滑完美的圆复杂得多了。
这就像作为整体的无理数根号2与小数点后的一部分有限数一样。
实无限凌驾于一切有限之上，但却未必就比有限的事物更复杂。
这也是渺小的人类有可能理解无限的宇宙，以凡人之身掌握万物运转规律的理论基础。
整本书的内容并不困难，只要不被古希腊人对无穷的厌恶吓到，很容易就能理解阿基米德计算圆周率的过程。
当然，具体计算起来又是另一回事了。
古希腊人只能徒手计算那些需要开根号的麻烦无理数，用这种方法来计算圆周率的效率相当低下。
“有了穷竭法以后，再次回头看芝诺的二分悖论。”
“1\/2+1\/4＋1\/8…，这个无穷级数就是数轴上每次割去一半、无限次切割的单位长度。”
“欧多克索斯和阿基米德不敢在书面上使用实无穷，但是如果应用了实无穷，就能知道这个无穷级数的和正好等于1。”
“二分悖论的问题在于，芝诺认为无穷个量相加一定是无法计算的无穷，却没想过结果其实是一个有限的数值。”
说到这里，李恒抬手给阿基里斯递过去一本小册子。
“嗯？…小说书？”
阿基里斯看着手中的小册子，打开之后看到的是“第四十六章”的字样。
“『我的父母很明白，阿基里斯是能够追上乌龟的，他们为我取这个名字不是把我当做善跑的英雄，而是那只悖论中的可笑乌龟』。”
她抬起头问道：
“这本书写的是我的故事？”
李恒点点头回道：
“是，阿基里斯是这本书的主角。”
“不仅是二分悖论，阿基里斯与芝诺的龟的问题也可以用这种思想来解决。”
“0.999…=1，这里的等号不是约等于，而是确切的等于。”
“不考虑阿基里斯到底是如何从静止走向运动、又是如何走完无穷步的。”
“这个等号的意思是，在数学上的理想状况下，经过了无限次步骤之后，阿基里斯确实追上了乌龟，两者在数轴上完全重合，位于同一个点。”
“1\/2+1\/4…=1，0.9…=1，其实只是同一个数的不同写法而已，是在数轴上从0出发抵达1的不同行走方法。”
“其他整数和分数也可以被写成这种无穷级数的形式。”
“人类发现的无理数，实际上就是一个和为有限值的无穷级数，也就是所谓的收敛级数。”
换句话说，每一个真实存在的无理数都是一个已完成的无穷序列。
一个对应着无理数的世界，在无穷小的空间和时间内，都能完成无限次步骤的计算任务，容纳着无穷的信息与能量。
虽然这样的世界依旧还不是连续统，但与普通人类所在的整数世界也完全是两个概念。
生存在那里的生物，即使因为这个玻璃罐世界的规则而意识不到自身的强大。
但他们任何一个体内都容纳着实在无穷的力量，即使是身体中无穷小的组成部分也一样。
空间均匀分布的整数世界那些无限大的静止宇宙，无穷无尽的静止宇宙组成的次元世界，还有上不见顶、深不见底的量子比特海洋。
它们全都只是无理数世界的生物身体上无穷小的基本组成部分，等同于数轴上那些没有大小的点。
所以阿基里斯必须要拥有实无穷等级的力量才能去往旅程的下一站。
没有达到这个等级的生物，根本无法出现在那个世界里。
“嗯，最后再说一个特别的圆周率算法，以及我眼中万物皆数的世界。”
李恒抬手将这本记录着穷竭法与圆周率的书合上，目光穿透图书馆无穷世界的阻隔，看向毕达哥拉斯和阿基米德永远无法的抵达无穷小世界。
和阿基米德以及这个世界里的其他人一样，他同样无法直观地看到真正的无穷小，目光只能停留在“任意小”的潜无穷世界。
“阿基里斯，无论是现在的我还是你，都看不到真实的无穷，目光只能局限在有限的世界里。”
“但我却对实无穷的存在深信不疑，从未怀疑过它的真实性。”
“原因就在于这些数。”
“地球人很喜欢用虚拟和现实的概念来形容事物，现实这个词原本指代客观存在的事物或事实。”
“但就像无限和无穷这些词被随意使用以至于远离了原来的含义，现实这个词也变成了某种更具体和狭窄的东西。”
“人类说一样东西是现实的，往往指这些东西有着能被触摸的具体模样、能被眼睛看到的外形，是生活中触手可及的事物。”
“比如，亲人、朋友、早上的面包、今晚的晚餐，等等人类的感官所能直接感受到的具体事物。”
“三百亿光年外的古老星辰，隐藏在微观领域的量子波动性，这些都不属于近距离的、直观的现实的范围。”
“现实这个词因此具有了一种人类中心主义的含义。”
“只有人类所在的这颗星球表面不到百亿人的世界是现实的，其他都是虚幻不实的事物。”
“这种想法其实与心外无物的思想有些类似，只在乎与自己直接相关的，不在乎那些与自己无关的遥远事物。”
“但是，我不认为人类的意识能影响到宇宙的客观存在，太阳和月亮不会因为区区百亿人的目光不去看它而不存在。”
“无论人类有没有去观察，太阳和月亮就在那里，宇宙中的亿万星辰就在那里。”
“所以我认可量子力学的多世界诠释，将人的意识打落尘埃，让人类和沙砾待在同一个位置。”
“观察者效应只是人类主观感受到的错觉，人只是宇宙无尽复制的时间洪流中静止不动的纸片人，对这个世界没有丝毫影响。”
纸片人，阿基里斯竖起了耳朵，捕捉到了这个词语。
她伸手摸了摸自己跳动着的心脏，感受着那平稳的心率波动，明白自己心中对这个事实早就已经有了猜想。
既然飞矢不动准确描述了这个世界，那么他们这些生存在离散世界中的生物自然就是静止不动的纸片人了。
现在的她已经不再是过去的那个她。
过去的她在过去的世界，现在的她在现在的世界，就像数字中那些看起来完全一样，但却位于不同位置的数。
身在这个世界里的是一个全新的阿基里斯，既不是那个地球上被人丢进贫民窟的垃圾，也不是那个与提亚马特神大战的人。
所以他才会跟她说，她是这个世界上独一无二的阿基里斯，与其他那些有着同样名字、外貌和记忆的阿基里斯都不一样。
李恒打了个响指，一串数字符号漂浮在两人的面前。
“这种万物皆数的信念当然不是毫无来由的宗教信仰。”
“就像证明无理数需要使用排中律和反证法一样，认为那些代表着实无穷的数字真实存在需要足够的证据。”
“人类计算圆周率总是从头开始，似乎随着人的计算圆周率才一步一步的出现。”
“那些还没有被发现的圆周率数字对于人类来说是完全随机的，因此圆周率也可以被用于制作随机数。”
“但是，圆周率真的随机吗？那些还没被计算出来的数字真的不存在吗？”
“这就是一种划时代的圆周率算法，它能计算圆周率的任意第n位二进制或十六进制小数而不需要先计算前面的n-1位数字，被称为bbp公式。”
“有了计算圆周率任意位的算法，π到底是什么就变得很清晰了。”
“计算圆周率就像人类观察高山、大海、星辰一样。这些物体并不会因为人类没有去观察就不存在，圆周率的真实性也不会因为人类是否存在而改变。”
“宇宙中那些遥远的星辰，古代的一些聪明人是有能力用视差法计算出它们的距离的。”
“但是因为这些星辰被算出来的距离过于遥远，远远超出了人类能想象的距离，所以古代人只是把它们视作围绕地球的小点。”
“圆周率π，它不是人类创造发明的概念，而是一种早已存在，比宇宙星辰更为庞大的、永恒不朽的实体。”
数学是发现还是发明，李恒倾向于是发现，至少这些有着确定算法的无理数是如此。
这种想法被称为数学柏拉图主义者，正如在古希腊时代，柏拉图是最早认可实无穷的哲学家。
所以李恒从不怀疑宇宙中存在无限个地球、无限个人类文明。
实在无穷是真实存在的，人类发现的每一个无理数都是存在于世界某处的无穷实体。
人类知晓的一切过去、人类能想象到的一切未来，都已经在那些记录着一切可能性的巴别图书馆中书写完毕。
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