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    这种空隙是一块非0的无穷小区域。

    因为有理数定义为整数之比p\/q，所以它们之间的每一个空隙都是一条非零的线段。

    这条线段里有无限多的代数无理数和超越无理数，这些点的集合构成了数轴上一段非0却小于任意给定实数的长度。

    “再多给你一点提示。”

    李恒打了个响指道：

    “向着实数轴上扔一个理想的点状飞镖，它命中1的概率是0。”

    “同样的，它命中自然数、有理数、代数无理数这些数量为可数无限的数的概率显然也是0。”

    “不仅如此，就算是不可数无限也一样。”

    “举个例子，刘维尔数集可以与实数集一一对应，它是一个不可数无限集合。”

    “但刘维尔数集却是一个零测集，也就是说它在实数轴上占据的区域为0。”

    “有限数，可数无限，不可数无限。”

    “明明彼此之间有着天地之差，却都在数轴上占据着一块大小为0的区域。”

    “点和线，这两个概念之间的差距比常人想象中的还要大得多，完全不是区区降维打击的程度。”

    “从点的集合出发，自下而上地去思考数轴的连续性，这种方法是没用的。”

    “即使不可数无限数量的点组成的集合，也无法从没有大小的点跨越到有长度的线段。”

    任一实数都对应数轴上唯一的一点，反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数。

    于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应关系。

    但是，如何从没有长度的点跨越到有长度的线段，这个过程其实是含糊不清的。

    实数的数量是远比有理数更多的不可数无限，它们在数轴上比稠密的有理数更稠密。

    但是，仅仅是引入一个比可数无限更大的不可数无限，并不能完成从点到线段的跨越。

    阿基里斯凝神思索，回忆着两人从自然数世界开始一路走到现在的经历，逐渐有了思路。

    应该反过来思考，从连续无缝的直线为起点，研究直线的无限可分性。

    用有理数切割直线，可以得到无数个长度非0的无穷小线段。

    这些线段的长度是潜在的无穷小，它们内部隐藏着的无理数填补了数轴上有理数之间的空隙。

    到这里都没有什么不清晰的地方，用有理数切割直线得到的是无数条长度非0的无穷小线段。

    这其实更符合现实计算中微积分的思想。

    有限的人类不可能精确计算无理数，所有的无理数都只是用有理数去近似逼近。

    实际计算中处理的无理数其实不是一个常数，而是一个变量，对应于数轴上的一个区间。

    问题在于，实数模型后续又将十进制无限小数定义的无理数作为数轴上唯一确定的点，用无数的点去构成这些有着非0长度的无穷小线段。

    究竟如何才能从没有长度的点跨越到有长度的线段，这一过程并不清晰明了。

    如果，在戴德金分割的基础上更进一步。

    既然可以用有理数作为刀刃去切割直线，那为什么不能用实数作为刀刃切割直线？

    心中的想法渐渐成型，阿基里斯看向眼前白色数轴上数字1所在的位置。

    “如果允许不为0的实无穷小存在，数轴上就有无数条长度比任何实数都小，却依旧不为0的线段。”

    “每一个无理数都是一个已完成的实无限序列，但是，这些无理数之间依旧还藏着空隙。”

    “阿基里斯即使走过了无限步，它也依旧追不上那只芝诺的乌龟！”

    抬起的手掌终于斩下，目标正是数轴上的1。

    存在实无穷小，那么0.99…≠1。

    两者之间还有一条小于任何实数，却依旧长度不为0的实无穷小线段。

    正是这些仿佛没有大小的点的线段填补了实数之间的空隙，就像无理数填补有理数之间的空隙一样。

    这些实无穷小线段就是超实数所在的地方！

    哐当！

    耀眼的火花在眼前亮起，阿基里斯的手掌上传来一阵剧烈的疼痛感，让她低低惊叫了一声。

    “哎呀？！”

    她想的应该没问题的啊。

    眼前的白色数轴完好无损，完全不像是之前在李恒手上时那样，轻轻松松地就被他扯成了两段。

    李恒再次用一脸看傻子的表情看着她，嘴角带着些许笑意道：

    “虽然比以前聪明了一些，但果然还是个小呆瓜。”

    “忘了我们之前是怎么抵达牛顿和莱布尼茨所在的无理数世界的么？”

    阿基里斯眼神茫然了一瞬，紧接着脸颊微微泛红，不太好意思地略微偏过了脑袋。

    “嘿嘿，我不小心忘了。”

    没办法，她在这个混沌不可知的世界里数了亿万个纪元的数字，很多细节都混在那些枯燥无味的记忆里了。

    现在想起来了，她当时是用胸前挂着的这台芝诺机杀死了毕达哥拉斯，破开了看不到尽头的无穷小世界，找到了隐藏在有理数之间的无理数。

    更准确的说法是，潜无穷小世界。

    芝诺机是超图灵机，具备可数无限?0的力量，有理数则是两个有限大的整数之比，找到潜无穷小世界自然不在话下。

    但超实数却是存在于两个实数之间。

    每一个实数都是一个已完成的无穷序列，是可数无限?0级别的力量。

    以此类推，想要找到实数之间的空隙，去往超实数所在的实无穷小世界，至少需要更高一个层次的力量，也就是不可数无限?1级别的力量。

    生灵只能窥探到比自己高一个层次的世界，如果隔着两个无限的层次，那里就是不可知不可论的世界。

    没有能够付诸实践的力量，就只能被禁锢在原来的世界。

    “超实数域有三个组成部分。

    无穷小δ，e，它的绝对值比任何实数都要小。

    有限数，它就是实数，任何给定的实数都是有限大。

    无限大数，w，这里e=1\/w，它比任何实数都要大。”

    “引入了无限大数和无穷小数之后，在超实数域中，0.99…和1表示的不是数轴上的同一个数。”

    “两者之间还存在着无穷多个与它们相差一个无穷小量的超实数，类似于1-e，1-e^2等等。”

    “但这些无限大数和无限小数只是最基础的部分。”

    “之前我们在康托尔的精神病院里都能用幂集公理从?0开始一路向上无限跳跃，你不会觉得只是用实数切割一次数轴就到尽头了吧？”

    啊，早就该猜到的了。

    阿基里斯对此毫不意外，这可没有什么事不过三的说法。

    既然能切割一次、两次，那自然就可以继续切割无数次。

    从点到线，从离散到连续，从静止到运动。

    两者之间的差距远比她最初以为的还要大得多。

    在这个世界里，连续统的基数远不只是?1或者?2。

    不过，这样正好，越远越好。

    真理无穷，如果他们两个的研究也永远不会走到尽头就好了。
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